S'adressant aux étudiants de maîtrises de mathématique et de physique et aux élèves ingénieurs physiciens et mécaniciens, la géométrie différentielle...
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S'adressant aux étudiants de maîtrises de mathématique et de physique et aux élèves ingénieurs physiciens et mécaniciens, la géométrie différentielle présentée est développée avec un souci pédagogique constant et prépare aux applications de cette discipline.
Les notions de variété, tenseur, forme, fibres, algèbre et dérivée de Lie..., exposées et illustrées de manière progressive, devraient être connues de tout étudiant abordant un troisième cycle de mécanique des fluides, relativités, cosmologie, physique des hautes énergies, mécanique, etc. Les géométries riemannienne et symplectique et surtout la mécanique analytique y sont largement développées.
Sommaire
RAPPELS DE TOPOLOGIE ET DE CALCUL DIFFERENTIEL
Rappels de topologie générale
Calcul différentiel dans les banach
VARIETES
Introduction
Variétés différentiables
Applications différentiables de variétés
Sous-variétés
ESPACE VECTORIEL TANGENT
Vecteur tangent
Espace vectoriel tangent
Application différentielle en un point
FIBRE TANGENT ; CHAMP DE VECTEURS GROUPE A UN PARAMETRE ; ALGEBRE DE LIE
Fibre tangent
Champ de vecteurs sur une variété
Structure d'algèbre de Lie
Groupe à un paramètre de difféomorphismes
FIBRE COTANGENT ET FIBRE DES TENSEURS
Fibre cotangent, champ de covecteurs
Algèbre tensorielle et champ de tenseurs
FORMES DIFFERENTIELLES
Forme extérieure en un point
Formes différentielles sur une variété
Image réciproque d'une forme différentielle forme volume
Différentiation extérieure
DERIVEE DE LIE ; GROUPE DE LIE
Dérivée de Lie
Produit intérieur et dérivée de Lie
Théorème de Frobenius pour les champs de vecteurs
Invariance des champs de tenseurs
Groupe de Lie
L'INTEGRATION DES FORMES ET SES APPLICATIONS
Intégration d'une forme différentielle de degré n sur une variété orientée
Intégrale sur une chaîne
Formule de Stokes
Introduction à la théorie de l'homologie
Invariants intégraux
GEOMETRIE RIEMANNIENNE
Variétés riemanniennes
Connexion linéaire
Géodésiques et équation d'Euler
Courbure ; Identité de Bianchi ; Equations d'Einstein
PRINCIPES DES FORMALISMES LAGRANGIEN ET HAMILTONIEN, EQUATIONS DU MOUVEMENT ; INTEGRALES ISOLANTES
Espace de configuration, métrique
Principe de Hamilton ; Equations du mouvement
Espace des phases
Principe de d'Alembert-Lagrange ; Equations de Lagrange
Transformations canoniques et invariants intégraux
Intégrales isolantes en dynamique stellaire
GEOMETRIE SYMPLECTIQUE ET MECANIQUE DE HAMILTON-JACOBI
Géométrie symplectique
Transformations canoniques en mécanique hamiltonnienne