" Découvrir l'arithmétique " s'adresse à l'étudiant entrant à l'université ou en classe préparatoire, voire à l'étudiant de lycée. Par l'importance...
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" Découvrir l'arithmétique " s'adresse à l'étudiant entrant à l'université ou en classe préparatoire, voire à l'étudiant de lycée. Par l'importance de l'arithmétique et de son histoire, il est aussi destiné aux candidats des concours, avec une pensée particulière pour les candidats aux concours d'enseignement ; Découvrir l'arithmétique est né de notes de préparation à l'écrit du Capes et d'un cours d'arithmétique en première année donnés à l'université de Tours. " Découvrir l'arithmétique " couvre tout le programme de Théorie algébrique des nombres du premier cycle universitaire. A cela s'ajoutent une présentation de l'Analyse diophantienne par le biais de problèmes historiquement importants, complétée par une présentation du dixième problème de Hilbert et de sa solution négative par Matiyasevich, et deux applications contemporaines (le cryptage à clefs publiques et la reconnaissance syntaxique des nombres premiers). " OPUSCULES " se compose de petits ouvrages portant chacun sur des points des programmes de l'université. La collection vise la solidité du développement mathématique, en se souciant du développement historique des grandes idées, niveau par niveau, dans des opuscules de références autonomes. Elle se veut sobre, pertinente, destinée aux étudiants, aux candidats des concours et aux esprits curieux des mathématiques.
Sommaire
Prérequis
Vocabulaire sur les relations d'ordre
Le principe de récurrence
Le plus grand commun diviseur (PGCD)
La division euclidienne
L'algorithme d'Euclide
La relation de Bézout
La factorisation en nombres premiers
Analyse diophantienne
Les relations de congruence
Le crible d'Eratosthène et sa combinatoire
L'infinitude des nombres premiers
Les nombres premiers dans les suites arithmétiques
Les diviseurs d'un nombre
Les fonctions multiplicatives
Les nombres parfaits
Les groupes et l'arithmétique
L'indicatrice d'Euler
Les anneaux, les corps et l'arithmétique
Analyse diophantienne (2) : les triplets pythagoriciens
Analyse diophantienne (3) : méthode de la descente infinie
Analyse diophantienne (4) : le dixième problème de Hilbert
Deux applications de l'arithmétique : cryptage à clefs publiques et reconnaissance syntaxique des nombres premiers.