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Les Nouveaux éléments de géométrie sont nés de rencontres faites par Antoine Arnauld en des moments successifs de sa vie. Pour rivaliser avec Pascal, auteur d'une Introduction à la géométrie, il composa ses Nouveaux éléments, dont une première version préfacée par Nicole parut en 1667. Seize ans plus tard, en 1683, fugitif en exil, il en publia une seconde. Entre ces deux dates, il en remania de fond en comble toute l'axiomatique, sans que pour autant soit en rien ébranlé l'édifice qui reposait sur elle.
L'occasion de cet étrange bouleversement fut la rencontre avec le janséniste gantois François de Nonancourt, chez lequel Arnauld lut l'Euclides logisticus, où son hôte restaurait les fondements de la géométrie de manière non euclidienne. Outre le fragment subsistant de l'Introduction à la géométrie de Pascal, nous publions pour la première fois les deux versions des Nouveaux éléments de 1667 et 1683, de manière à permettre au lecteur de suivre le cheminement de la pensée d'Arnauld.
Nous publions aussi pour la première fois le texte original et la traduction française de l'Euclides logisticus. Ces ouvrages, replacés au coeur des controverses qui ont secoué Port-Royal, notamment la polémique des Provinciales, témoignent de la vitalité de sa réflexion savante. Loin des travaux menés sur le front des mathématiques supérieures, ils ont en commun de chercher l'invention dans différents retours aux fondements : Pascal jette les bases d'une géométrie de position, Arnauld d'une théorie générale des grandeurs, et Nonancourt d'une axiomatique des raisons.
Leur nouveauté réside aussi dans la création d'une langue mathématique précise, claire, débarrassée du jargon technique, accessible à l'honnête homme, et capable de lui apprendre à penser : ces "géométries de Port-Royal" sont en cela le complément naturel de la Logique, des Pensées de Pascal et des Essais de morale de Nicole. Non seulement elles ont exercé une influence profonde sur la philosophie et la pédagogie des mathématiques en France, mais elles sont aujourd'hui une voie d'accès à la pensée des grands savants de l'époque classique.